この記事はこんな方にオススメ！

• 都立高校入試の数学で高得点が取りたい。
• 都立高校入試の社会が苦手。
• 都立高校入試数学の勉強法やテクニックが知りたい。

都立高校入試数学の概要

都立高校入試の数学では、一部の都立高校（自校作成校）以外は同じ問題を使います。自校作成校の事項作成問題と区別して「共通問題」と呼びます。数学は苦手とする人が多い科目です。しかしながら、都立高校入試数学は対策が非常にしやすい科目です。なぜならば、都立高校入試数学には以下の特徴があるからです。

 

• 設問ごとに出題内容がほぼ決まっている
• 設問ごとに正答率もほぼ決まっている
• 設問ごとの正答率の差が激しい
• 以上の特徴から、目標点数ごとに「解くべき問題」「解いてはいけない問題」が決まってくる

 

という特徴です。ということで、設問ごとの出題内容や正答率を紹介した後で目標点数ごとに「どの設問を優先して解くべきか」を紹介します。お勧めの教材も紹介しますので、是非最後まで読んでいってください。

大問1

まずは都立高校入試の大問1を小問ごとにご紹介いたします。

問１の内容

問１は正負の数の計算をする問題です。注意点は「計算の順番」です。

計算の順番は以下のように覚えておきましょう。

 

1. （　）のなかを計算する
2. 累乗を計算する　　例：-6²=-36
3. 掛け算と割り算を計算する
4. 足し算と引き算を計算する

 

都立高校入試数学の大問1問１では、この４つを覚えておけばＯＫです。

正答率の高い問題ですので、必ず正解できるようにしておきましょう。

問2の内容

問２は文字式の計算をする問題です。問２で気を付けてほしいポイントは１つです。それは、「カッコの前につくマイナスの外し方」です。

 

例：―（４ａ―ｂ）＝―４ａ＋ｂ

 

このポイントが２５年連続で出題されています。これにさえ気を付ければ、大問１問２で点を落とすことはほぼないと言えます。正答率の高い問題になるので、必ず正解できるようにしておきましょう。

問3の内容

問３は平方根の計算です。主なポイントは以下の２つです。

①展開　　

( )²や( )( )を計算する問題が頻繁に出題されます。過去１０年のうち７年がこのパターンです。

 

②平方根の簡約

平方根の簡約とは、例えば√8=2√2といった計算をすることを指します。過去１０年のうち３年がこのパターンでした。展開をしない年は平方根の簡約を求められます。

また、過去２０年で２回のみと大変にレアですが有理化が必要な問題もありますので注意しておいてください。この問題も正答率が高い問題となりますので必ず正解できるようにしましょう。

問4の内容

問４は一次方程式の計算をする問題です。特にこれといったポイントはありません。一次方程式の計算練習をしておきましょう。問２や問３より問４の方が正答率の高い年が多いです。絶対に落とせない問題だと思っておきましょう。

問5の内容

問５は連立方程式の計算問題です。こちらも、特にこれといったポイントはありません。連立方程式の計算練習をしておいてください。問４と同じように、問２・問３より正答率が高くなっています。絶対に落とさないようにしておきましょう。

問6の内容

問６は二次方程式の計算問題です。こちらについては、「因数分解のできない問題（＝解の公式を使わないと解けない問題）がほとんど」という特徴があります。

２０１４年～２０２３年の過去１０年のうち８年がこれでした。他の２年（２０１６年と２０１８年）は因数分解をして解く問題でした。因数分解をして解く問題でも解の公式を使えば解けますので、解の公式を使えるようになっておけばＯＫとも言えます。

問４や問５と比べて正答率が下がる傾向にありますが、解の公式さえ使えれば正解できる問題となっていますので確実に正解できるようにしましょう。

問7の内容

問７は以下の３つに分類できます。

 

1. 確率の問題
2. 資料の活用の問題
3. 関数の問題

 

それぞれ特徴があり、

 

①確率

• 問７で関数の問題が出題される場合、問８で確率が出題される
• サイコロ、カード、袋（から玉を取り出す）の３パターンのいずれかが出題される

という特徴があります。

サイコロの場合は

の表を書いて解くようにしてください。

また、カードや袋の問題は樹形図を書いて解くようにしてください。

 

②資料の活用

２０２３年現在、

 

• 相対度数を求める問題
• 中央値を求める問題

 

の２パターンしか出題されておりません。したがって、この２つをケアしておけば大丈夫です。中１のときに習い、ずっと触れることのない単元ですので見落としている人が多い単元ですがこの２つ（相対度数・中央値）は復習して必ずできるようにしておきましょう。

 

③関数

関数もパターンが限られていて、

 

• 一次関数の変化の割合
• 二次関数のxの変域が与えられた場合のyの変域

 

のどちらかになっています。したがって、これらを確実におさえておきましょう。これらは大問３の対策にもなります。

以上のように、問７は様々なバリエーションがありますので正答率は年によって様々です。しかしながら、どの年も正答率が高くなっています。（近年では２０１９年が例外です。）

上記すべてのパターンに対応できるようにしておいてください。

問8の内容

問８では、図形の角度を求める問題か確率の問題が出題されます。確率の問題については問７の説明で触れましたのでここでは図形の角度を求める問題について触れます。

図形の角度を求める問題は与えられた図の中に隠されたヒントを自力で探さなければならないので苦手とする人も多いです。以下のようなパターンが多いことを知っておき、ヒントを探す際の参考にしてください。

 

• 円周角の定理
• 半円の弧に対する円周角は９０度
• 三角形の内角と外角の関係
• １つの円の半径の長さは等しい（⇒二等辺三角形をつくります）
• 平行線の錯角は等しい

 

これらが問８を正解するためのポイントになることが多いです。問８の答えが分からない場合は上から順に探してみてください。また、円周角や錯角を登場させるために自分で補助線を引かなければならない問題が出題される年があります。補助線が必要な年は正答率が下がりますが、それだけライバルと差をつけるチャンスがあると言えます。

問9の内容

問９は作図の問題です。都立高校入試数学には珍しく、年によって正答率がかなり上下します。年によって注目点は異なりますが、以下のようなポイントに注目する年が多いです。

1. 垂直二等分線か角の二等分線を引くと何とかなることが多い
2. 円とは、ある点から一定の距離をとる点の集合である
3. 面積が等しい三角形は、高さが同じであれば底辺の長さも等しい

大問2

次は都立高校入試数学の大問2についてご紹介いたします。

出題内容

大問２では、「文字式の利用」が出題されます。様々な数や図形や規則性を文字で表現することが求められます。例えば、「１１の倍数＝１１ｋ」「底辺がａ㎝、高さがh㎝の三角形の面積は」といったかたちです。

都立高校入試数学大問２の対策２選

①図形の性質を覚えておく

文字を使って図形の辺の長さ、面積、体積を表現することが多いのでその性質を知っておく必要があります。例えば、２０２１年度入試では「正方形はひし形でもあるから、『対角線の長さ×対角線の長さ』を計算すれば面積がわかる」という知識が必要でした。他にも、「おうぎ形の周の長さや面積」や「円柱の表面積」といった円が関わるものが狙われやすいので注意してください。

 

②規則性の問題では、規則が分かるまで自分で書いてみる

例えば、「～のようなルールで正方形をｎ個重ねたときに…」という問題があったとします。このとき、「正方形を２つ重ねたらどうなるか」「３つ重ねたらどうなるか」を書いてn個重ねたときにどうなるかの法則性を探るヒントを探しましょう。

大問２は、問１の正答率が年によっても異なりますが比較的問１の正答率が高く問２の正答率が低い年が多いです。問２は、８０点以上を目指す人のみ挑みましょう。

大問3

大問３は関数の問題が出題されます。一次関数のみが出題される年と、一次関数・二次関数の両方が出題される年があります。

問１の内容

問１は、

• 直線や放物線に値を代入して点の座標を求める問題
• 二次関数のｘの値が与えられた状態でyの値の範囲を求める問題

のどちらかのパターンであることがほとんどです。ごくまれに、問２で出題される「２点を通る直線の式を求める」が問１で出題されることがあります。

問2の内容

問２では、２点を通る直線の式を求める問題が出題されることがほとんどです。ただし、２点のうち１点の座標を求める際に「２つの点の中点を求める」などのひと手間が加わる年もあります。

問3の内容

問３はある点の座標を求める問題ですが、そのプロセスが非常に複雑になっています。例年、正答率が１０～２０％くらいになるので目標点数が８０点以上でない限り手を出さない方が良いです。正解するために必要なテクニックがいくつかあるので、次の項で紹介します。

都立高校入試数学大問３のテクニック4選

問３のカギとなるテクニックを紹介します。

 

1. 求める点のx座標をtとおく習慣をつける
2. 関数の式、点の座標など分かっていることを与えられた図にすべて書き込む
3. ２つの平行な直線を活用した等積変形を利用する
4. ｘ軸やｙ軸に平行な直線に注目して三角形の底辺や高さを求める

 

これら４つを必要に応じて活用することで、大問３問３の正答率がグッと高まります。是非意識してみてください。

大問4

大問４は平面図形の問題です。登場する図形や正三角形、平行四辺形、正方形、円など年によって様々です。意図的にばらけさせていると思われます。しかし、各設問の傾向はある程度決まっていますので対策は立てやすいです。

問１の内容

問１では図形の角度を求める問題が出題されます。大問１の問８でも同様の問題が出題されると話しましたが、１つ違う点があります。

それは、「どこかの角度をａとおき、ａを使ってある角の角度を求める」ということです。ただし、問題を解くうえでやるべきことにほぼ差はありません。したがって、大問１問８と同様に

 

• 三角形の内角と外角の関係
• 円周角の定理
• 円周角と中心角の関係

 

といったことに注目すればＯＫです。

問２①の内容

ここでは、合同や相似の証明が出題されます。

合同条件や相似条件をすべて暗記しておき、教科書や各種問題集に載っている型通りに証明する練習をしておきましょう。

問２②の内容

ここでは三角形の面積や辺の長さを求める問題が出題されます。非常に難しい問題となっていて、例年正答率が１０％前後となっています。ほとんどの受験生は手を出すべきではないですし、挑むとしても他の問題を解き終わってからにすべきです。

都立高校入試数学大問４のテクニック３選

1. 合同や相似の証明で困ったら平行線の同位角や錯角を探す
2. 問２②では、問２①で証明した合同や相似を活用する
3. 問２②では、問２①で証明した以外に１つ、相似である三角形のペアを探す

 

これらを活用して、大問４の正答率を上げましょう。

大問5

大問５は空間図形の問題です。

問１の内容

問１では、辺の長さや図形の角度を求める問題が出題されます。後述の通り三平方の定理を使えば何とかなる問題が多いため、正答率は低くありません。したがって、図形の問題に苦手意識があったとしても、問１は正解できるようにしておきたいです。

問２の内容

問２では、立体の体積を求める問題が多いです。非常に正答率が低い問題で、例年正答率は５％前後です。満点狙いでない限り手を出す必要がないと言えます。

都立高校入試数学大問５のテクニック６選

1. 問１では三平方の定理を使うことが非常に多い
2. 問１で三平方の定理を使う場合、三角定規型の三角形に注意する
3. 問２で複雑な立体の体積を求める場合、その立体をいくつかの三角すいに分ける
4. 問２で複雑な立体の体積を求める場合、全体（直方体など）から四角すいをいくつか取り除いて求められるケースがある
5. 問２で立体の体積を求める際、底面は面積が求められる平面である必要があり、高さはそれと垂直でありかつ長さが分かる線分である必要があることを意識する
6. 高さが等しい立体どうしの体積比は底面積の比に等しい

大問５の問２に挑む場合は、これらを意識しておくと良いでしょう。

都立高校入試数学の目標点数別の作戦

①５０点台を目指す場合

• 大問１の４６点のうち１問落としたとして４０点～４１点
• 大問３問１・問２で１０点
• 大問４問１で５点

これで５０点台が確保できます。５０点台を狙う場合は、これ以外の問題には手を出さず、これらの問題の練習を重ねたうえで本番当日もこれらの問題を解く＆見直しに時間を費やすのが良いでしょう。

 

②６５点以上を目指す場合

• 大問１で４６点
• 大問２問１で５点
• 大問３問１問２で１０点
• 大問４問１で５点
• 大問５問１で５点

これらのうち、どれか１題をミスして落としても６５点を超える計算になります。

 

③７５点以上を目指す場合

• 大問１で４６点
• 大問２問１で５点
• 大問２問２で７点
• 大問３問１問２で１０点
• 大問４問１で５点
• 大問４問２①で７点
• 大問５問１で５点

これで１～２問ミスが出ても７５点を超えることができます。

 

④８５点以上を目指す場合

全ての問題に挑むようにしてください。

都立高校入試数学対策の教材４選

1『東京都予想問題数学大問１２３』

大問１や大問２の問１、大問３の問１・問２を練習することができる問題集です。この問題集には１つ大きな欠点があります。それは「一般書店で市販されていない」という点です。学習塾向けの教材となっているため、この教材が欲しい場合は通っている塾にお願いする必要があります。

2都立高校入試過去問集

都立高校入試数学は毎年パターンが決まっているので、それを練習することが何よりも大切です。最新の過去問集で直近７年分を演習することはもちろんのこと、７～８年前の過去問集を買ってもう７年分演習することも非常に有効です。必ず実践してください。

3Vもぎ過去問集

Ｖもぎの過去問集も、都立高校入試と同じパターンの数学の問題を演習するのに非常に便利です。１冊の過去問集に５回分が収録されており、それが過去３年分購入できる仕様になっています。

4『数学の最強ワザ１２０』

８５点以上を目指す方、

つまり大問３・大問４・大問５の最後の問題に挑戦する方にお勧めの教材です。都立高校入試数学のうち、「難問」とされる問題を解く力が身に付きます。難しめの問題集でありながら、高校範囲の一部を知っていることを前提とする問題を扱っていないため非常に便利です。

逆に、難関私大の付属高など偏差値の高い私立高校入試を受験する場合はこれではなく『塾技１００』を使った方が良いです。

 

以上が都立高校入試数学の対策です。

是非これらを活用して高得点を実現してください。

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